立方体の倍積問題
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ギリシャの数学者達による立方体の倍積

エウドクソス(Eudoxus)の解

エウドクソス( Eudoxus of Cnidus, 408 BC - 355 BC) はアルキタス( Archytas )の生徒であった。彼は xy平面上で円錐と円環の相接を投影することでこの問題を解いた。この解は円ABCを曲線が交差する点にある。
H と M 間の曲線は円錐と円環の間で交差する線。
弧BMC は円錐(BM) と円環(MC) に交差する円柱の曲面。


********** Archytas_projection_on_xy.dwg *********

エウドクソス(Eudoxus)が使用した曲線

曲面上の全ての表示線を消すと、下のような図面になる。
赤紫色の曲線は、xy平面に投影された円錐と円環との間の三次元の複曲率の境界線である。
エウドクソスはこの曲線をxy平面に描く方法を見つけ出した。


********** Eudoxus_desc.dwg ********* 

 
     図面内では AB =  b　および AC = b　とする。
BF は AC に垂直なので、 BF2 =  AF x FC     

さらに　　AB2 = AF2 + BF2 = AF2 + AF x FC = AF (AF + FC) =  AF x AC

または　　AF = AB2/ AC = b2 / a　で表される。
角度 GAF = q とすると、  AG = AF /cos(q) = AF sec q = AH
および    AL = AH sec(q) = AG sec(q) = AF sec2q

極座標にて位置L を表すならば、
半径と角度は q なので、 r を用いて
		r = (b2/a) sec2q				  (1)
ここで円錐と円環の曲面方程式にもどる。
 右側の円錐： x2 + y2 + z2 = (a/b)2x2			  (2)
 円環      ：  x2 + y2 + z2 = a {x2 + y2}1/2		  (3)
(2) と (3)の右側を式にすると
		x2 = (b2/a) {x2 + y2}1/2
となる。
両サイドに {x2 + y2}1/2　を掛け、その関係を用いると
		r = {x2 + y2}1/2
		sec(q) = {x2 + y2}1/2 / x
結果は
		r = (b2/a) sec2q
となり、これは (1)と全く同じである。

故に(1)で与えられた曲線は、ABC平面上の円錐と円環との間の交差の投影である。

おもしろいことに、AS (= AT )の長さの(AC/AB)倍はアルキタス(Archytas)の解におけるAPの長さに等しい。

	AM2 = AS2 + MS2 =  AS2 + AS x SC = AS (AS + SC) = AS x AC
であるから	AC x AS = AM2 = AB x AP　
故に	AP = (AC/AB) x AS 
AB = 1 で AC = 2　の時、 AP = 2xAS = AT　である。

エウドクソス(Eudoxus)の曲線を描く

エウドクソスの時代にはまだ三角法がなかったので、曲線は次の方法で描かれた。
1. 線分BF をAC に垂直に下す。
2. BF 上の点G を取り、H でAC を切断するような中心がA でAG が半径の弧を描く。
3. H でAC に垂直な線を引く。この線はL で線分AG に交差する。
4. 曲線は点L を繋いで作る。


********************* Eudoxus_curve.dwg *********************

ここをクリックしてアニメーションを見る。

この図面とアニメーションの作成方法： 
  プログラム Eudoxus.lsp  を  (load "Eudoxus") でロードする。
  次にコマンドラインから draw_Eudoxus_curve 　と実行命令をタイプする。
  曲線の描き方を見るには test_1 と test_2　を実行する。

繰り返しズームしてその解を求める

交差する点を求めるためには繰り返しズームが必要。


***************** Eudoxus_Delian_result.dwg ******************

ここをクリックしてアニメーションを見る。

この図面とアニメーションの作成方法： 
  プログラム Eudoxus.lsp  を  (load "Eudoxus") でロードする。
  次にコマンドラインから Eudoxus_Delian 　と実行命令をタイプする。

参考文献

  1. Heath,Thomas L. :"History of Greek Mathematics Vol. I From Thales to Euclid" Dover 1981
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質問、問い合わせは 筆者 岩本 卓也宛てにお願いします。

Last Updated Nov 22, 2006

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