折り紙の方法を用いると一枚の正方形の紙だけで角の三等分ができる。
この方法は阿部 恒が発明し日本の学会誌「数学セミナー」(1980年版)に発表した。
1. 三等分する角をZABとする。辺ADを
右へ移動し、折り線AZをつける。
2. 辺DC をAB と平行になるように
移動し、折り線EF をつける。
3. 辺AB がEF と重なるようにして
折り曲げ、折り線GH をつける。
GH は ABEF の二等分線となる。
4. 点A の隅を掴み、点E が線AZ と
重なるまで点A を線GH に沿って移動
させたら折り線YX をつける。
5. 移動したA とE の最終位置は
A', E'で示す。
線分AA' は∠ZAB を三等分する。
ここをクリックしてアニメーションを見る。
******** origami_tri_desc.dwg ********
この図面とアニメーションの作成方法:
プログラム Abe_H.lsp を (load "Abe_H") でロードする。
次にコマンド ラインから Abe_hisashi と実行命令をタイプする。
この動作を見るには abe_h1 & abe_h2 と実行命令をタイプする。
左のビューポート:
精度バーを示した全体図
右上のビューポート:
赤い点は、E' の位置を表す。
水色の線にまでくるようにする。
******** origami_60_deg_case.dwg ********
******** compare_three_methods.dwg ********
この図面とアニメーションの作成方法:
プログラム Abe_H.lsp を (load "Abe_H") でロードする。
次にコマンド ラインから three_methods と実行命令をタイプする。
このプログラムを実行するには下記の図面ファイルが必要。
******** comparison_carpenter's_square.dwg ********
******** comparison_tomahawk_bare.dwg ********
******** comparison_origami_bare.dwg ********
ここでは、座標の原点をO 、OB をX軸, OD をY軸 とする。
図面の中では OP = OS = l および ∠SON = (1/3)∠PON とする。 三角形SON においては、 l*sin(θ) = m のとき、l = m /sin(θ) である。 三角形POM においては、 x = l*cos(3θ) = m*cos(3θ)/sin(θ) となる------(1) 更に y = l*sin(3θ) = m*sin(3θ)/sin(θ) = m*(3sin(θ) - 4sin3(θ))/sin(θ) =(3 - 4sin2(θ)*m = (4cos2(θ) - 1)*m であるから、 4cos2(θ) - 1 = y/m, または cos2(θ) = (1/4)(1+y/m) ------(2) となる (1)から、x2sin2(θ) = m2cos2(θ)cos2(3θ) = m2cos2(θ)(4cos2(θ) - 3)2 -------(3) が導かれる。 ここで、 cos2(θ) と (y/m) の関係 (2) を用いると sin2(θ) = 1 - cos2(θ) = (1/4)(3 - y/m) cos2(θ) = (1/4)(1 + y/m) 4cos2(θ) - 3 = y/m - 2 であるから,これを(3)に代入すると x2 = m2{(1 + y/m) (y/m - 2)2} / (3 - y/m) となる。これが折り紙による三等分曲線(Origami Trisectrix)である。 さらに X = x/m, Y = y/m とおいて無次元化すると X2 = {(1 + Y) (Y - 2)2} / (3 - Y) または X2(3 - Y) = (1 + Y) (Y - 2)2 とも表される。
ステップ (1): 三等分する角を示す点A を指定する。
ステップ (2): m=0.3(任意で良いが、BH の長さに等しい値)
の折り紙曲線を描く。
ステップ (3): OA とこの曲線の交点をP とする。
ステップ (4): 中心がO で、半径OP の円を描く。
ステップ (5): この円が線分GH を切断する点をS とする。
ステップ (6): 線分OS は∠AOB を三等分する。
******** origami_curve_trisection.dwg ********
この図面とアニメーションの作成方法:
プログラム Abet.lsp を (load "Abet") でロードする。
次にコマンド ラインから type Abe_4 と実行命令をタイプする。
1. 阿部 恒:"すごいぞ折り紙" 日本評論社 , 2003. ISBN4-535-78409-4
Hisashi Abe: Published in Japanese--Amazon.com link
質問、問い合わせは 筆者 岩本 卓也宛てにお願いします。
Last Updated Nov 22, 2006
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